Issolvi {l}{5x+2y=-20}{y=2x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 20 } \\ { y = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-2$$

$$y=-5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=-1$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+2y=-20,-2x+y=-1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+2y=-20$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-2y-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-20\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-2y-20.

$$x=-\frac{2}{5}y-4$$

Issostitwixxi -\frac{2y}{5}-4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x+y=-1.

$$-2\left(-\frac{2}{5}y-4\right)+y=-1$$

Immultiplika -2 b'-\frac{2y}{5}-4.

$$\frac{4}{5}y+8+y=-1$$

Żid \frac{4y}{5} ma' y.

$$\frac{9}{5}y+8=-1$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{9}{5}y=-9$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{9}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-5$$

Issostitwixxi -5 għal y f'x=-\frac{2}{5}y-4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-5\right)-4$$

Immultiplika -\frac{2}{5} b'-5.

$$x=2-4$$

Żid -4 ma' 2.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=-5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=-1$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+2y=-20,-2x+y=-1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{5-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5-2\left(-2\right)}&\frac{5}{5-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{2}{9}&\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-20\right)-\frac{2}{9}\left(-1\right)\\\frac{2}{9}\left(-20\right)+\frac{5}{9}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-2,y=-5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=-1$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+2y=-20,-2x+y=-1$$

Biex tagħmel 5x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$-2\times 5x-2\times 2y=-2\left(-20\right),5\left(-2\right)x+5y=5\left(-1\right)$$

Issimplifika.

$$-10x-4y=40,-10x+5y=-5$$

Naqqas -10x+5y=-5 minn -10x-4y=40 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-10x+10x-4y-5y=40+5$$

Żid -10x ma' 10x. -10x u 10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-4y-5y=40+5$$

Żid -4y ma' -5y.

$$-9y=40+5$$

Żid 40 ma' 5.

$$-9y=45$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-9.

$$y=-5$$

Issostitwixxi -5 għal y f'-2x+y=-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x-5=-1$$

Żid 5 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=-5$$