Issolvi {l}{5x+2y=-16}{2x-3y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 16 } \\ { 2 x - 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-2$$

$$y=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+2y=-16,2x-3y=5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+2y=-16$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-2y-16$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-16\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-2y-16.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{16}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-2y-16}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-3y=5.

$$2\left(-\frac{2}{5}y-\frac{16}{5}\right)-3y=5$$

Immultiplika 2 b'\frac{-2y-16}{5}.

$$-\frac{4}{5}y-\frac{32}{5}-3y=5$$

Żid -\frac{4y}{5} ma' -3y.

$$-\frac{19}{5}y-\frac{32}{5}=5$$

Żid \frac{32}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{19}{5}y=\frac{57}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{19}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'x=-\frac{2}{5}y-\frac{16}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{16}{5}$$

Immultiplika -\frac{2}{5} b'-3.

$$x=\frac{6-16}{5}$$

Żid -\frac{16}{5} ma' \frac{6}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+2y=-16,2x-3y=5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2\times 2}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 2}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\left(-16\right)+\frac{2}{19}\times 5\\\frac{2}{19}\left(-16\right)-\frac{5}{19}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-2,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+2y=-16,2x-3y=5$$

Biex tagħmel 5x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\left(-16\right),5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 5$$

Issimplifika.

$$10x+4y=-32,10x-15y=25$$

Naqqas 10x-15y=25 minn 10x+4y=-32 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x+4y+15y=-32-25$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4y+15y=-32-25$$

Żid 4y ma' 15y.

$$19y=-32-25$$

Żid -32 ma' -25.

$$19y=-57$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'19.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'2x-3y=5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-3\left(-3\right)=5$$

Immultiplika -3 b'-3.

$$2x+9=5$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=-3$$