Issolvi {l}{5u+x=-10}{3u+3x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 u + x = - 10 } \\ { 3 u + 3 x = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal u, x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$u = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal u billi tiżola u fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5u+x=-10$$

Naqqas x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5u=-x-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$u=\frac{1}{5}\left(-x-10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-x-10.

$$u=-\frac{1}{5}x-2$$

Issostitwixxi -\frac{x}{5}-2 għal u fl-ekwazzjoni l-oħra, 3u+3x=0.

$$3\left(-\frac{1}{5}x-2\right)+3x=0$$

Immultiplika 3 b'-\frac{x}{5}-2.

$$-\frac{3}{5}x-6+3x=0$$

Żid -\frac{3x}{5} ma' 3x.

$$\frac{12}{5}x-6=0$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{12}{5}x=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{12}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi \frac{5}{2} għal x f'u=-\frac{1}{5}x-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal u direttament.

$$u=-\frac{1}{5}\times \frac{5}{2}-2$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'\frac{5}{2} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$u=-\frac{1}{2}-2$$

Żid -2 ma' -\frac{1}{2}.

$$u=-\frac{5}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3}&-\frac{1}{5\times 3-3}\\-\frac{3}{5\times 3-3}&\frac{5}{5\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi u u x.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

Biex tagħmel 5u u 3u ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$3\times 5u+3x=3\left(-10\right),5\times 3u+5\times 3x=0$$

Issimplifika.

$$15u+3x=-30,15u+15x=0$$

Naqqas 15u+15x=0 minn 15u+3x=-30 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$15u-15u+3x-15x=-30$$

Żid 15u ma' -15u. 15u u -15u jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3x-15x=-30$$

Żid 3x ma' -15x.

$$-12x=-30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-12.

$$x=\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi \frac{5}{2} għal x f'3u+3x=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal u direttament.

$$3u+3\times \frac{5}{2}=0$$

Immultiplika 3 b'\frac{5}{2}.

$$3u+\frac{15}{2}=0$$

Naqqas \frac{15}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3u=-\frac{15}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$u=-\frac{5}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$