Issolvi {l}{5b+c=8}{4b+4c=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 b + c = 8 } \\ { 4 b + 4 c = 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal b, c

$$b = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$c=\frac{1}{2}=0.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal b billi tiżola b fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5b+c=8$$

Naqqas c miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5b=-c+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$b=\frac{1}{5}\left(-c+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-c+8.

$$b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-c+8}{5} għal b fl-ekwazzjoni l-oħra, 4b+4c=8.

$$4\left(-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}\right)+4c=8$$

Immultiplika 4 b'\frac{-c+8}{5}.

$$-\frac{4}{5}c+\frac{32}{5}+4c=8$$

Żid -\frac{4c}{5} ma' 4c.

$$\frac{16}{5}c+\frac{32}{5}=8$$

Naqqas \frac{32}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{16}{5}c=\frac{8}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{16}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$c=\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi \frac{1}{2} għal c f'b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal b direttament.

$$b=-\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}+\frac{8}{5}$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'\frac{1}{2} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$b=-\frac{1}{10}+\frac{8}{5}$$

Żid \frac{8}{5} ma' -\frac{1}{10} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$b=\frac{3}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-4}&-\frac{1}{5\times 4-4}\\-\frac{4}{5\times 4-4}&\frac{5}{5\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{16}\times 8\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{5}{16}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi b u c.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

Biex tagħmel 5b u 4b ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$4\times 5b+4c=4\times 8,5\times 4b+5\times 4c=5\times 8$$

Issimplifika.

$$20b+4c=32,20b+20c=40$$

Naqqas 20b+20c=40 minn 20b+4c=32 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$20b-20b+4c-20c=32-40$$

Żid 20b ma' -20b. 20b u -20b jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4c-20c=32-40$$

Żid 4c ma' -20c.

$$-16c=32-40$$

Żid 32 ma' -40.

$$-16c=-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-16.

$$c=\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi \frac{1}{2} għal c f'4b+4c=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal b direttament.

$$4b+4\times \frac{1}{2}=8$$

Immultiplika 4 b'\frac{1}{2}.

$$4b+2=8$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4b=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$b=\frac{3}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$