Issolvi {l}{5(x+3y)-(7x+8y)=-6}{7x-9y-2(x-18y)=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( x + 3 y ) - ( 7 x + 8 y ) = - 6 } \\ { 7 x - 9 y - 2 ( x - 18 y ) = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{162}{89} = 1\frac{73}{89} \approx 1.820224719$$

$$y=-\frac{30}{89}\approx -0.337078652$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'x+3y.

$$5x+15y-\left(7x+8y\right)=-6$$

Biex issib l-oppost ta' 7x+8y, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$5x+15y-7x-8y=-6$$

Ikkombina 5x u -7x biex tikseb -2x.

$$-2x+15y-8y=-6$$

Ikkombina 15y u -8y biex tikseb 7y.

$$-2x+7y=-6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'x-18y.

$$7x-9y-2x+36y=0$$

Ikkombina 7x u -2x biex tikseb 5x.

$$5x-9y+36y=0$$

Ikkombina -9y u 36y biex tikseb 27y.

$$5x+27y=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-2x+7y=-6,5x+27y=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-2x+7y=-6$$

Naqqas 7y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=-7y-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y-6\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'-7y-6.

$$x=\frac{7}{2}y+3$$

Issostitwixxi \frac{7y}{2}+3 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+27y=0.

$$5\left(\frac{7}{2}y+3\right)+27y=0$$

Immultiplika 5 b'\frac{7y}{2}+3.

$$\frac{35}{2}y+15+27y=0$$

Żid \frac{35y}{2} ma' 27y.

$$\frac{89}{2}y+15=0$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{89}{2}y=-15$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{89}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{30}{89}$$

Issostitwixxi -\frac{30}{89} għal y f'x=\frac{7}{2}y+3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{7}{2}\left(-\frac{30}{89}\right)+3$$

Immultiplika \frac{7}{2} b'-\frac{30}{89} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{105}{89}+3$$

Żid 3 ma' -\frac{105}{89}.

$$x=\frac{162}{89}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{162}{89},y=-\frac{30}{89}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'x+3y.

$$5x+15y-\left(7x+8y\right)=-6$$

Biex issib l-oppost ta' 7x+8y, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$5x+15y-7x-8y=-6$$

Ikkombina 5x u -7x biex tikseb -2x.

$$-2x+15y-8y=-6$$

Ikkombina 15y u -8y biex tikseb 7y.

$$-2x+7y=-6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'x-18y.

$$7x-9y-2x+36y=0$$

Ikkombina 7x u -2x biex tikseb 5x.

$$5x-9y+36y=0$$

Ikkombina -9y u 36y biex tikseb 27y.

$$5x+27y=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-2x+7y=-6,5x+27y=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{-2\times 27-7\times 5}&-\frac{7}{-2\times 27-7\times 5}\\-\frac{5}{-2\times 27-7\times 5}&-\frac{2}{-2\times 27-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{89}&\frac{7}{89}\\\frac{5}{89}&\frac{2}{89}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{89}\left(-6\right)\\\frac{5}{89}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{162}{89}\\-\frac{30}{89}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{162}{89},y=-\frac{30}{89}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'x+3y.

$$5x+15y-\left(7x+8y\right)=-6$$

Biex issib l-oppost ta' 7x+8y, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$5x+15y-7x-8y=-6$$

Ikkombina 5x u -7x biex tikseb -2x.

$$-2x+15y-8y=-6$$

Ikkombina 15y u -8y biex tikseb 7y.

$$-2x+7y=-6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'x-18y.

$$7x-9y-2x+36y=0$$

Ikkombina 7x u -2x biex tikseb 5x.

$$5x-9y+36y=0$$

Ikkombina -9y u 36y biex tikseb 27y.

$$5x+27y=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-2x+7y=-6,5x+27y=0$$

Biex tagħmel -2x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-2.

$$5\left(-2\right)x+5\times 7y=5\left(-6\right),-2\times 5x-2\times 27y=0$$

Issimplifika.

$$-10x+35y=-30,-10x-54y=0$$

Naqqas -10x-54y=0 minn -10x+35y=-30 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-10x+10x+35y+54y=-30$$

Żid -10x ma' 10x. -10x u 10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$35y+54y=-30$$

Żid 35y ma' 54y.

$$89y=-30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'89.

$$y=-\frac{30}{89}$$

Issostitwixxi -\frac{30}{89} għal y f'5x+27y=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+27\left(-\frac{30}{89}\right)=0$$

Immultiplika 27 b'-\frac{30}{89}.

$$5x-\frac{810}{89}=0$$

Żid \frac{810}{89} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=\frac{810}{89}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{162}{89}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{162}{89},y=-\frac{30}{89}$$