Issolvi {l}{5(x+2)=4y}{3(y-4)=6x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( x + 2 ) = 4 y } \\ { 3 ( y - 4 ) = 6 x } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-2$$

$$y=0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'x+2.

$$5x+10=4y$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat.

$$5x+10-4y=0$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$5x-4y=-10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'y-4.

$$3y-12=6x$$

Naqqas 6x miż-żewġ naħat.

$$3y-12-6x=0$$

Żid 12 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$3y-6x=12$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-4y=-10$$

Żid 4y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=4y-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'4y-10.

$$x=\frac{4}{5}y-2$$

Issostitwixxi \frac{4y}{5}-2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -6x+3y=12.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-2\right)+3y=12$$

Immultiplika -6 b'\frac{4y}{5}-2.

$$-\frac{24}{5}y+12+3y=12$$

Żid -\frac{24y}{5} ma' 3y.

$$-\frac{9}{5}y+12=12$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{9}{5}y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{9}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'x=\frac{4}{5}y-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'x+2.

$$5x+10=4y$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat.

$$5x+10-4y=0$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$5x-4y=-10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'y-4.

$$3y-12=6x$$

Naqqas 6x miż-żewġ naħat.

$$3y-12-6x=0$$

Żid 12 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$3y-6x=12$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)-\frac{4}{9}\times 12\\-\frac{2}{3}\left(-10\right)-\frac{5}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-2,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'x+2.

$$5x+10=4y$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat.

$$5x+10-4y=0$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$5x-4y=-10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'y-4.

$$3y-12=6x$$

Naqqas 6x miż-żewġ naħat.

$$3y-12-6x=0$$

Żid 12 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$3y-6x=12$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Biex tagħmel 5x u -6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-10\right),5\left(-6\right)x+5\times 3y=5\times 12$$

Issimplifika.

$$-30x+24y=60,-30x+15y=60$$

Naqqas -30x+15y=60 minn -30x+24y=60 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-30x+30x+24y-15y=60-60$$

Żid -30x ma' 30x. -30x u 30x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$24y-15y=60-60$$

Żid 24y ma' -15y.

$$9y=60-60$$

Żid 60 ma' -60.

$$9y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'-6x+3y=12. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-6x=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=0$$