Issolvi {l}{40x+30y=500}{60x+15y=600}

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 600 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{35}{4} = 8\frac{3}{4} = 8.75$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$40x+30y=500$$

Naqqas 30y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$40x=-30y+500$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'40.

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

Immultiplika \frac{1}{40} b'-30y+500.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 60x+15y=600.

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=600$$

Immultiplika 60 b'-\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}.

$$-45y+750+15y=600$$

Żid -45y ma' 15y.

$$-30y+750=600$$

Naqqas 750 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-30y=-150$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-30.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5+\frac{25}{2}$$

Immultiplika -\frac{3}{4} b'5.

$$x=-\frac{15}{4}+\frac{25}{2}$$

Żid \frac{25}{2} ma' -\frac{15}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{35}{4}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 600\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 600\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{4}\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

Biex tagħmel 40x u 60x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'60 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'40.

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 600$$

Issimplifika.

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=24000$$

Naqqas 2400x+600y=24000 minn 2400x+1800y=30000 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-24000$$

Żid 2400x ma' -2400x. 2400x u -2400x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$1800y-600y=30000-24000$$

Żid 1800y ma' -600y.

$$1200y=30000-24000$$

Żid 30000 ma' -24000.

$$1200y=6000$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'1200.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'60x+15y=600. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$60x+15\times 5=600$$

Immultiplika 15 b'5.

$$60x+75=600$$

Naqqas 75 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$60x=525$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'60.

$$x=\frac{35}{4}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$