Issolvi {l}{4y-5x=-70}{x=-4y-34}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 5 x = - 70 } \\ { x = - 4 y - 34 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=6$$

$$y=-10$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 4y maż-żewġ naħat.

$$x+4y=-34$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4y-5x=-70$$

Żid 5x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4y=5x-70$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$y=\frac{1}{4}\left(5x-70\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-70+5x.

$$y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4} għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, 4y+x=-34.

$$4\left(\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}\right)+x=-34$$

Immultiplika 4 b'-\frac{35}{2}+\frac{5x}{4}.

$$5x-70+x=-34$$

Żid 5x ma' x.

$$6x-70=-34$$

Żid 70 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=36$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=6$$

Issostitwixxi 6 għal x f'y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\frac{5}{4}\times 6-\frac{35}{2}$$

Immultiplika \frac{5}{4} b'6.

$$y=\frac{15-35}{2}$$

Żid -\frac{35}{2} ma' \frac{15}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$y=-10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-10,x=6$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 4y maż-żewġ naħat.

$$x+4y=-34$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{5}{24}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\left(-70\right)+\frac{5}{24}\left(-34\right)\\-\frac{1}{6}\left(-70\right)+\frac{1}{6}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\6\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-10,x=6$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 4y maż-żewġ naħat.

$$x+4y=-34$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Naqqas 4y+x=-34 minn 4y-5x=-70 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4y-4y-5x-x=-70+34$$

Żid 4y ma' -4y. 4y u -4y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-5x-x=-70+34$$

Żid -5x ma' -x.

$$-6x=-70+34$$

Żid -70 ma' 34.

$$-6x=-36$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$x=6$$

Issostitwixxi 6 għal x f'4y+x=-34. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$4y+6=-34$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4y=-40$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$y=-10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-10,x=6$$