Issolvi {l}{4x-3y-10=0}{3x+4y+5=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 3 x + 4 y + 5 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x-3y-10=0$$

Żid 10 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x-3y=10$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=3y+10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'3y+10.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi \frac{3y}{4}+\frac{5}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+4y+5=0.

$$3\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y+5=0$$

Immultiplika 3 b'\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{9}{4}y+\frac{15}{2}+4y+5=0$$

Żid \frac{9y}{4} ma' 4y.

$$\frac{25}{4}y+\frac{15}{2}+5=0$$

Żid \frac{15}{2} ma' 5.

$$\frac{25}{4}y+\frac{25}{2}=0$$

Naqqas \frac{25}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{25}{4}y=-\frac{25}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{25}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{5}{2}$$

Immultiplika \frac{3}{4} b'-2.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Żid \frac{5}{2} ma' -\frac{3}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10+\frac{3}{25}\left(-5\right)\\-\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

Biex tagħmel 4x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$3\times 4x+3\left(-3\right)y+3\left(-10\right)=0,4\times 3x+4\times 4y+4\times 5=0$$

Issimplifika.

$$12x-9y-30=0,12x+16y+20=0$$

Naqqas 12x+16y+20=0 minn 12x-9y-30=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12x-12x-9y-16y-30-20=0$$

Żid 12x ma' -12x. 12x u -12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-9y-16y-30-20=0$$

Żid -9y ma' -16y.

$$-25y-30-20=0$$

Żid -30 ma' -20.

$$-25y-50=0$$

Żid 50 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-25y=50$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-25.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'3x+4y+5=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+4\left(-2\right)+5=0$$

Immultiplika 4 b'-2.

$$3x-8+5=0$$

Żid -8 ma' 5.

$$3x-3=0$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-2$$