Issolvi {l}{4x-3y=5}{8x+6y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 5 } \\ { 8 x + 6 y = 10 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y=0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x-3y=5,8x+6y=10$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x-3y=5$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=3y+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'3y+5.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

Issostitwixxi \frac{3y+5}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 8x+6y=10.

$$8\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+6y=10$$

Immultiplika 8 b'\frac{3y+5}{4}.

$$6y+10+6y=10$$

Żid 6y ma' 6y.

$$12y+10=10$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$12y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'12.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5}{4}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{5}{4},y=0$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x-3y=5,8x+6y=10$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}&-\frac{-3}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}\\-\frac{8}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}&\frac{4}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 5+\frac{1}{16}\times 10\\-\frac{1}{6}\times 5+\frac{1}{12}\times 10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\0\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{5}{4},y=0$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x-3y=5,8x+6y=10$$

Biex tagħmel 4x u 8x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'8 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$8\times 4x+8\left(-3\right)y=8\times 5,4\times 8x+4\times 6y=4\times 10$$

Issimplifika.

$$32x-24y=40,32x+24y=40$$

Naqqas 32x+24y=40 minn 32x-24y=40 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$32x-32x-24y-24y=40-40$$

Żid 32x ma' -32x. 32x u -32x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-24y-24y=40-40$$

Żid -24y ma' -24y.

$$-48y=40-40$$

Żid 40 ma' -40.

$$-48y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-48.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'8x+6y=10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$8x=10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$x=\frac{5}{4}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{5}{4},y=0$$