Issolvi {l}{4x-3y=1}{5x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 1 } \\ { 5 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x-3y=1,5x+2y=7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x-3y=1$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=3y+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'3y+1.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Issostitwixxi \frac{3y+1}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+2y=7.

$$5\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\right)+2y=7$$

Immultiplika 5 b'\frac{3y+1}{4}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{5}{4}+2y=7$$

Żid \frac{15y}{4} ma' 2y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

Naqqas \frac{5}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{23}{4}y=\frac{23}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{23}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

Żid \frac{1}{4} ma' \frac{3}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x-3y=1,5x+2y=7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{5}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}+\frac{3}{23}\times 7\\-\frac{5}{23}+\frac{4}{23}\times 7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x-3y=1,5x+2y=7$$

Biex tagħmel 4x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$5\times 4x+5\left(-3\right)y=5,4\times 5x+4\times 2y=4\times 7$$

Issimplifika.

$$20x-15y=5,20x+8y=28$$

Naqqas 20x+8y=28 minn 20x-15y=5 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$20x-20x-15y-8y=5-28$$

Żid 20x ma' -20x. 20x u -20x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-15y-8y=5-28$$

Żid -15y ma' -8y.

$$-23y=5-28$$

Żid 5 ma' -28.

$$-23y=-23$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-23.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'5x+2y=7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+2=7$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=1$$