Issolvi {l}{4x+y=15}{5y+19x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=45$$

$$y=-165$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+y=15$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-y+15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-y+15.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

Issostitwixxi \frac{-y+15}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 19x+5y=30.

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

Immultiplika 19 b'\frac{-y+15}{4}.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

Żid -\frac{19y}{4} ma' 5y.

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

Naqqas \frac{285}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'4.

$$y=-165$$

Issostitwixxi -165 għal y f'x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

Immultiplika -\frac{1}{4} b'-165.

$$x=\frac{165+15}{4}$$

Żid \frac{15}{4} ma' \frac{165}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=45$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=45,y=-165$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=45,y=-165$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Biex tagħmel 4x u 19x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'19 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

Issimplifika.

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

Naqqas 76x+20y=120 minn 76x+19y=285 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

Żid 76x ma' -76x. 76x u -76x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$19y-20y=285-120$$

Żid 19y ma' -20y.

$$-y=285-120$$

Żid 285 ma' -120.

$$-y=165$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=-165$$

Issostitwixxi -165 għal y f'19x+5y=30. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

Immultiplika 5 b'-165.

$$19x-825=30$$

Żid 825 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$19x=855$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'19.

$$x=45$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=45,y=-165$$