Issolvi {l}{4x+y=-7}{2x+6y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = - 7 } \\ { 2 x + 6 y = - 11 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{31}{22} = -1\frac{9}{22} \approx -1.409090909$$

$$y = -\frac{15}{11} = -1\frac{4}{11} \approx -1.363636364$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+y=-7$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-y-7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-y-7.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}$$

Issostitwixxi \frac{-y-7}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+6y=-11.

$$2\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}\right)+6y=-11$$

Immultiplika 2 b'\frac{-y-7}{4}.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{7}{2}+6y=-11$$

Żid -\frac{y}{2} ma' 6y.

$$\frac{11}{2}y-\frac{7}{2}=-11$$

Żid \frac{7}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{15}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{11}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{15}{11}$$

Issostitwixxi -\frac{15}{11} għal y f'x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{15}{11}\right)-\frac{7}{4}$$

Immultiplika -\frac{1}{4} b'-\frac{15}{11} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{15}{44}-\frac{7}{4}$$

Żid -\frac{7}{4} ma' \frac{15}{44} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{31}{22}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-2}&-\frac{1}{4\times 6-2}\\-\frac{2}{4\times 6-2}&\frac{4}{4\times 6-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\left(-7\right)-\frac{1}{22}\left(-11\right)\\-\frac{1}{11}\left(-7\right)+\frac{2}{11}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{22}\\-\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

Biex tagħmel 4x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$2\times 4x+2y=2\left(-7\right),4\times 2x+4\times 6y=4\left(-11\right)$$

Issimplifika.

$$8x+2y=-14,8x+24y=-44$$

Naqqas 8x+24y=-44 minn 8x+2y=-14 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$8x-8x+2y-24y=-14+44$$

Żid 8x ma' -8x. 8x u -8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y-24y=-14+44$$

Żid 2y ma' -24y.

$$-22y=-14+44$$

Żid -14 ma' 44.

$$-22y=30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-22.

$$y=-\frac{15}{11}$$

Issostitwixxi -\frac{15}{11} għal y f'2x+6y=-11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+6\left(-\frac{15}{11}\right)=-11$$

Immultiplika 6 b'-\frac{15}{11}.

$$2x-\frac{90}{11}=-11$$

Żid \frac{90}{11} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-\frac{31}{11}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-\frac{31}{22}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$