Issolvi {l}{4x+9y=13}{3x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = 13 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{37}{19} = 1\frac{18}{19} \approx 1.947368421$$

$$y=\frac{11}{19}\approx 0.578947368$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+9y=13,3x+2y=7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+9y=13$$

Naqqas 9y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-9y+13$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y+13\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-9y+13.

$$x=-\frac{9}{4}y+\frac{13}{4}$$

Issostitwixxi \frac{-9y+13}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+2y=7.

$$3\left(-\frac{9}{4}y+\frac{13}{4}\right)+2y=7$$

Immultiplika 3 b'\frac{-9y+13}{4}.

$$-\frac{27}{4}y+\frac{39}{4}+2y=7$$

Żid -\frac{27y}{4} ma' 2y.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{39}{4}=7$$

Naqqas \frac{39}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{19}{4}y=-\frac{11}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{19}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{11}{19}$$

Issostitwixxi \frac{11}{19} għal y f'x=-\frac{9}{4}y+\frac{13}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{9}{4}\times \frac{11}{19}+\frac{13}{4}$$

Immultiplika -\frac{9}{4} b'\frac{11}{19} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{99}{76}+\frac{13}{4}$$

Żid \frac{13}{4} ma' -\frac{99}{76} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{37}{19}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{37}{19},y=\frac{11}{19}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+9y=13,3x+2y=7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-9\times 3}&-\frac{9}{4\times 2-9\times 3}\\-\frac{3}{4\times 2-9\times 3}&\frac{4}{4\times 2-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&\frac{9}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 13+\frac{9}{19}\times 7\\\frac{3}{19}\times 13-\frac{4}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{19}\\\frac{11}{19}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{37}{19},y=\frac{11}{19}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+9y=13,3x+2y=7$$

Biex tagħmel 4x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$3\times 4x+3\times 9y=3\times 13,4\times 3x+4\times 2y=4\times 7$$

Issimplifika.

$$12x+27y=39,12x+8y=28$$

Naqqas 12x+8y=28 minn 12x+27y=39 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12x-12x+27y-8y=39-28$$

Żid 12x ma' -12x. 12x u -12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$27y-8y=39-28$$

Żid 27y ma' -8y.

$$19y=39-28$$

Żid 39 ma' -28.

$$19y=11$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'19.

$$y=\frac{11}{19}$$

Issostitwixxi \frac{11}{19} għal y f'3x+2y=7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+2\times \frac{11}{19}=7$$

Immultiplika 2 b'\frac{11}{19}.

$$3x+\frac{22}{19}=7$$

Naqqas \frac{22}{19} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{111}{19}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{37}{19}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{37}{19},y=\frac{11}{19}$$