Issolvi {l}{4x+9y=-16}{10x+6y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = - 16 } \\ { 10 x + 6 y = 26 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y=-4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+9y=-16,10x+6y=26$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+9y=-16$$

Naqqas 9y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-9y-16$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y-16\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-9y-16.

$$x=-\frac{9}{4}y-4$$

Issostitwixxi -\frac{9y}{4}-4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 10x+6y=26.

$$10\left(-\frac{9}{4}y-4\right)+6y=26$$

Immultiplika 10 b'-\frac{9y}{4}-4.

$$-\frac{45}{2}y-40+6y=26$$

Żid -\frac{45y}{2} ma' 6y.

$$-\frac{33}{2}y-40=26$$

Żid 40 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{33}{2}y=66$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{33}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-4$$

Issostitwixxi -4 għal y f'x=-\frac{9}{4}y-4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{9}{4}\left(-4\right)-4$$

Immultiplika -\frac{9}{4} b'-4.

$$x=9-4$$

Żid -4 ma' 9.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=-4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+9y=-16,10x+6y=26$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-9\times 10}&-\frac{9}{4\times 6-9\times 10}\\-\frac{10}{4\times 6-9\times 10}&\frac{4}{4\times 6-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\\\frac{5}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\left(-16\right)+\frac{3}{22}\times 26\\\frac{5}{33}\left(-16\right)-\frac{2}{33}\times 26\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=-4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+9y=-16,10x+6y=26$$

Biex tagħmel 4x u 10x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'10 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$10\times 4x+10\times 9y=10\left(-16\right),4\times 10x+4\times 6y=4\times 26$$

Issimplifika.

$$40x+90y=-160,40x+24y=104$$

Naqqas 40x+24y=104 minn 40x+90y=-160 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$40x-40x+90y-24y=-160-104$$

Żid 40x ma' -40x. 40x u -40x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$90y-24y=-160-104$$

Żid 90y ma' -24y.

$$66y=-160-104$$

Żid -160 ma' -104.

$$66y=-264$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'66.

$$y=-4$$

Issostitwixxi -4 għal y f'10x+6y=26. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$10x+6\left(-4\right)=26$$

Immultiplika 6 b'-4.

$$10x-24=26$$

Żid 24 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$10x=50$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=-4$$