Issolvi {l}{4x+7y=2}{5x+6y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 7 y = 2 } \\ { 5 x + 6 y = 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{6}{11}\approx -0.545454545$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+7y=2$$

Naqqas 7y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-7y+2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-7y+2\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-7y+2.

$$x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+6y=4.

$$5\left(-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}\right)+6y=4$$

Immultiplika 5 b'-\frac{7y}{4}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{35}{4}y+\frac{5}{2}+6y=4$$

Żid -\frac{35y}{4} ma' 6y.

$$-\frac{11}{4}y+\frac{5}{2}=4$$

Naqqas \frac{5}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{11}{4}y=\frac{3}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{11}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{6}{11}$$

Issostitwixxi -\frac{6}{11} għal y f'x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{7}{4}\left(-\frac{6}{11}\right)+\frac{1}{2}$$

Immultiplika -\frac{7}{4} b'-\frac{6}{11} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{21}{22}+\frac{1}{2}$$

Żid \frac{1}{2} ma' \frac{21}{22} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{16}{11}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{4\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{4\times 6-7\times 5}&\frac{4}{4\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}\times 2+\frac{7}{11}\times 4\\\frac{5}{11}\times 2-\frac{4}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

Biex tagħmel 4x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$5\times 4x+5\times 7y=5\times 2,4\times 5x+4\times 6y=4\times 4$$

Issimplifika.

$$20x+35y=10,20x+24y=16$$

Naqqas 20x+24y=16 minn 20x+35y=10 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$20x-20x+35y-24y=10-16$$

Żid 20x ma' -20x. 20x u -20x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$35y-24y=10-16$$

Żid 35y ma' -24y.

$$11y=10-16$$

Żid 10 ma' -16.

$$11y=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'11.

$$y=-\frac{6}{11}$$

Issostitwixxi -\frac{6}{11} għal y f'5x+6y=4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+6\left(-\frac{6}{11}\right)=4$$

Immultiplika 6 b'-\frac{6}{11}.

$$5x-\frac{36}{11}=4$$

Żid \frac{36}{11} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=\frac{80}{11}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{16}{11}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$