Issolvi {l}{4x+5y=6}{x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 6 } \\ { x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{27}{23} = 1\frac{4}{23} \approx 1.173913043$$

$$y=\frac{6}{23}\approx 0.260869565$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+5y=6$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-5y+6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-5y+6.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+7y=3.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}+7y=3$$

Żid -\frac{5y}{4} ma' 7y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{3}{2}=3$$

Naqqas \frac{3}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{23}{4}y=\frac{3}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{23}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{6}{23}$$

Issostitwixxi \frac{6}{23} għal y f'x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{6}{23}+\frac{3}{2}$$

Immultiplika -\frac{5}{4} b'\frac{6}{23} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{15}{46}+\frac{3}{2}$$

Żid \frac{3}{2} ma' -\frac{15}{46} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{27}{23}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5}&-\frac{5}{4\times 7-5}\\-\frac{1}{4\times 7-5}&\frac{4}{4\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 6-\frac{5}{23}\times 3\\-\frac{1}{23}\times 6+\frac{4}{23}\times 3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{23}\\\frac{6}{23}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

Biex tagħmel 4x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$4x+5y=6,4x+4\times 7y=4\times 3$$

Issimplifika.

$$4x+5y=6,4x+28y=12$$

Naqqas 4x+28y=12 minn 4x+5y=6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4x-4x+5y-28y=6-12$$

Żid 4x ma' -4x. 4x u -4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$5y-28y=6-12$$

Żid 5y ma' -28y.

$$-23y=6-12$$

Żid 6 ma' -12.

$$-23y=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-23.

$$y=\frac{6}{23}$$

Issostitwixxi \frac{6}{23} għal y f'x+7y=3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+7\times \frac{6}{23}=3$$

Immultiplika 7 b'\frac{6}{23}.

$$x+\frac{42}{23}=3$$

Naqqas \frac{42}{23} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{27}{23}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$