Issolvi {l}{4x+5y=6}{3x+7y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 6 } \\ { 3 x + 7 y = 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{2}{13}\approx 0.153846154$$

$$y = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+5y=6,3x+7y=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+5y=6$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-5y+6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-5y+6.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+7y=8.

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}\right)+7y=8$$

Immultiplika 3 b'-\frac{5y}{4}+\frac{3}{2}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{9}{2}+7y=8$$

Żid -\frac{15y}{4} ma' 7y.

$$\frac{13}{4}y+\frac{9}{2}=8$$

Naqqas \frac{9}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{13}{4}y=\frac{7}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{13}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{14}{13}$$

Issostitwixxi \frac{14}{13} għal y f'x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{14}{13}+\frac{3}{2}$$

Immultiplika -\frac{5}{4} b'\frac{14}{13} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{35}{26}+\frac{3}{2}$$

Żid \frac{3}{2} ma' -\frac{35}{26} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{2}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{2}{13},y=\frac{14}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+5y=6,3x+7y=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&5\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5\times 3}&-\frac{5}{4\times 7-5\times 3}\\-\frac{3}{4\times 7-5\times 3}&\frac{4}{4\times 7-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}&-\frac{5}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}\times 6-\frac{5}{13}\times 8\\-\frac{3}{13}\times 6+\frac{4}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\\\frac{14}{13}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{2}{13},y=\frac{14}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+5y=6,3x+7y=8$$

Biex tagħmel 4x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 6,4\times 3x+4\times 7y=4\times 8$$

Issimplifika.

$$12x+15y=18,12x+28y=32$$

Naqqas 12x+28y=32 minn 12x+15y=18 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12x-12x+15y-28y=18-32$$

Żid 12x ma' -12x. 12x u -12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$15y-28y=18-32$$

Żid 15y ma' -28y.

$$-13y=18-32$$

Żid 18 ma' -32.

$$-13y=-14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-13.

$$y=\frac{14}{13}$$

Issostitwixxi \frac{14}{13} għal y f'3x+7y=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+7\times \frac{14}{13}=8$$

Immultiplika 7 b'\frac{14}{13}.

$$3x+\frac{98}{13}=8$$

Naqqas \frac{98}{13} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{6}{13}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{2}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{2}{13},y=\frac{14}{13}$$