Issolvi {l}{4x+5y=3}{2x-3y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 3 } \\ { 2 x - 3 y = 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{29}{22} = 1\frac{7}{22} \approx 1.318181818$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+5y=3,2x-3y=4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+5y=3$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-5y+3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+3\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-5y+3.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{4}$$

Issostitwixxi \frac{-5y+3}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-3y=4.

$$2\left(-\frac{5}{4}y+\frac{3}{4}\right)-3y=4$$

Immultiplika 2 b'\frac{-5y+3}{4}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}-3y=4$$

Żid -\frac{5y}{2} ma' -3y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{3}{2}=4$$

Naqqas \frac{3}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{11}{2}y=\frac{5}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{11}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{5}{11}$$

Issostitwixxi -\frac{5}{11} għal y f'x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{3}{4}$$

Immultiplika -\frac{5}{4} b'-\frac{5}{11} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{25}{44}+\frac{3}{4}$$

Żid \frac{3}{4} ma' \frac{25}{44} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{29}{22}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{29}{22},y=-\frac{5}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+5y=3,2x-3y=4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-3\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-3\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-3\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 3+\frac{5}{22}\times 4\\\frac{1}{11}\times 3-\frac{2}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{22}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{29}{22},y=-\frac{5}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+5y=3,2x-3y=4$$

Biex tagħmel 4x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$2\times 4x+2\times 5y=2\times 3,4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\times 4$$

Issimplifika.

$$8x+10y=6,8x-12y=16$$

Naqqas 8x-12y=16 minn 8x+10y=6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$8x-8x+10y+12y=6-16$$

Żid 8x ma' -8x. 8x u -8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$10y+12y=6-16$$

Żid 10y ma' 12y.

$$22y=6-16$$

Żid 6 ma' -16.

$$22y=-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'22.

$$y=-\frac{5}{11}$$

Issostitwixxi -\frac{5}{11} għal y f'2x-3y=4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-3\left(-\frac{5}{11}\right)=4$$

Immultiplika -3 b'-\frac{5}{11}.

$$2x+\frac{15}{11}=4$$

Naqqas \frac{15}{11} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=\frac{29}{11}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{29}{22}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{29}{22},y=-\frac{5}{11}$$