Issolvi {l}{4x+5y=0}{8x-15y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 0 } \\ { 8 x - 15 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+5y=0$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-5y$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5\right)y$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-5y.

$$x=-\frac{5}{4}y$$

Issostitwixxi -\frac{5y}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 8x-15y=-5.

$$8\left(-\frac{5}{4}\right)y-15y=-5$$

Immultiplika 8 b'-\frac{5y}{4}.

$$-10y-15y=-5$$

Żid -10y ma' -15y.

$$-25y=-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-25.

$$y=\frac{1}{5}$$

Issostitwixxi \frac{1}{5} għal y f'x=-\frac{5}{4}y. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{5}$$

Immultiplika -\frac{5}{4} b'\frac{1}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4\left(-15\right)-5\times 8}&-\frac{5}{4\left(-15\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{4\left(-15\right)-5\times 8}&\frac{4}{4\left(-15\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{1}{20}\\\frac{2}{25}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-5\right)\\-\frac{1}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

Biex tagħmel 4x u 8x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'8 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$8\times 4x+8\times 5y=0,4\times 8x+4\left(-15\right)y=4\left(-5\right)$$

Issimplifika.

$$32x+40y=0,32x-60y=-20$$

Naqqas 32x-60y=-20 minn 32x+40y=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$32x-32x+40y+60y=20$$

Żid 32x ma' -32x. 32x u -32x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$40y+60y=20$$

Żid 40y ma' 60y.

$$100y=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'100.

$$y=\frac{1}{5}$$

Issostitwixxi \frac{1}{5} għal y f'8x-15y=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$8x-15\times \frac{1}{5}=-5$$

Immultiplika -15 b'\frac{1}{5}.

$$8x-3=-5$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8x=-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$