Issolvi {l}{4x+3y=4}{4x+6y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 4 } \\ { 4 x + 6 y = 16 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-2$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+3y=4,4x+6y=16$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+3y=4$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-3y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-3y+4.

$$x=-\frac{3}{4}y+1$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{4}+1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+6y=16.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+1\right)+6y=16$$

Immultiplika 4 b'-\frac{3y}{4}+1.

$$-3y+4+6y=16$$

Żid -3y ma' 6y.

$$3y+4=16$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3y=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x=-\frac{3}{4}y+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{4}\times 4+1$$

Immultiplika -\frac{3}{4} b'4.

$$x=-3+1$$

Żid 1 ma' -3.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+3y=4,4x+6y=16$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 6-3\times 4}&\frac{4}{4\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{4}\times 16\\-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-2,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+3y=4,4x+6y=16$$

Naqqas 4x+6y=16 minn 4x+3y=4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4x-4x+3y-6y=4-16$$

Żid 4x ma' -4x. 4x u -4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3y-6y=4-16$$

Żid 3y ma' -6y.

$$-3y=4-16$$

Żid 4 ma' -16.

$$-3y=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'4x+6y=16. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x+6\times 4=16$$

Immultiplika 6 b'4.

$$4x+24=16$$

Naqqas 24 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=4$$