Issolvi {l}{4x+3y=25}{x-3y/2=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 25 } \\ { x - \frac { 3 y } { 2 } = - 14 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=9$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$2x-3y=-28$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+3y=25$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-3y+25$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+25\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-3y+25.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}$$

Issostitwixxi \frac{-3y+25}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-3y=-28.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}\right)-3y=-28$$

Immultiplika 2 b'\frac{-3y+25}{4}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{25}{2}-3y=-28$$

Żid -\frac{3y}{2} ma' -3y.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{25}{2}=-28$$

Naqqas \frac{25}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{9}{2}y=-\frac{81}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{9}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=9$$

Issostitwixxi 9 għal y f'x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{4}\times 9+\frac{25}{4}$$

Immultiplika -\frac{3}{4} b'9.

$$x=\frac{-27+25}{4}$$

Żid \frac{25}{4} ma' -\frac{27}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$2x-3y=-28$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-3\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 25+\frac{1}{6}\left(-28\right)\\\frac{1}{9}\times 25-\frac{2}{9}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$2x-3y=-28$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

Biex tagħmel 4x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 25,4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-28\right)$$

Issimplifika.

$$8x+6y=50,8x-12y=-112$$

Naqqas 8x-12y=-112 minn 8x+6y=50 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$8x-8x+6y+12y=50+112$$

Żid 8x ma' -8x. 8x u -8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$6y+12y=50+112$$

Żid 6y ma' 12y.

$$18y=50+112$$

Żid 50 ma' 112.

$$18y=162$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'18.

$$y=9$$

Issostitwixxi 9 għal y f'2x-3y=-28. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-3\times 9=-28$$

Immultiplika -3 b'9.

$$2x-27=-28$$

Żid 27 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$