Issolvi {l}{4x+3y=-7}{-2x-5y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = - 7 } \\ { - 2 x - 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-1$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+3y=-7,-2x-5y=7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+3y=-7$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-3y-7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-3y-7.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}$$

Issostitwixxi \frac{-3y-7}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x-5y=7.

$$-2\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}\right)-5y=7$$

Immultiplika -2 b'\frac{-3y-7}{4}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}-5y=7$$

Żid \frac{3y}{2} ma' -5y.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{7}{2}=7$$

Naqqas \frac{7}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{7}{2}y=\frac{7}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{7}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{4}$$

Immultiplika -\frac{3}{4} b'-1.

$$x=\frac{3-7}{4}$$

Żid -\frac{7}{4} ma' \frac{3}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+3y=-7,-2x-5y=7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&3\\-2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\7\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\7\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{4\left(-5\right)-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{4\left(-5\right)-3\left(-2\right)}&\frac{4}{4\left(-5\right)-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-7\right)+\frac{3}{14}\times 7\\-\frac{1}{7}\left(-7\right)-\frac{2}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-1,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+3y=-7,-2x-5y=7$$

Biex tagħmel 4x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$-2\times 4x-2\times 3y=-2\left(-7\right),4\left(-2\right)x+4\left(-5\right)y=4\times 7$$

Issimplifika.

$$-8x-6y=14,-8x-20y=28$$

Naqqas -8x-20y=28 minn -8x-6y=14 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-8x+8x-6y+20y=14-28$$

Żid -8x ma' 8x. -8x u 8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-6y+20y=14-28$$

Żid -6y ma' 20y.

$$14y=14-28$$

Żid 14 ma' -28.

$$14y=-14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'14.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'-2x-5y=7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x-5\left(-1\right)=7$$

Immultiplika -5 b'-1.

$$-2x+5=7$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=-1$$