Issolvi {l}{4x+2y=2}{x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 2 } \\ { x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-3$$

$$y=7$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+2y=2$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-2y+2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+2\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-2y+2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-y+1}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+y=4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

Żid -\frac{y}{2} ma' y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

Naqqas \frac{1}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$y=7$$

Issostitwixxi 7 għal y f'x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'7.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

Żid \frac{1}{2} ma' -\frac{7}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-3,y=7$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-4\\-\frac{1}{2}\times 2+2\times 4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-3,y=7$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Biex tagħmel 4x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$4x+2y=2,4x+4y=4\times 4$$

Issimplifika.

$$4x+2y=2,4x+4y=16$$

Naqqas 4x+4y=16 minn 4x+2y=2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4x-4x+2y-4y=2-16$$

Żid 4x ma' -4x. 4x u -4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y-4y=2-16$$

Żid 2y ma' -4y.

$$-2y=2-16$$

Żid 2 ma' -16.

$$-2y=-14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=7$$

Issostitwixxi 7 għal y f'x+y=4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+7=4$$

Naqqas 7 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-3,y=7$$