Issolvi {l}{4b+4c=-5}{4b+5c=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 b + 4 c = - 5 } \\ { 4 b + 5 c = - 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal b, c

$$b=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$c=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal b billi tiżola b fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4b+4c=-5$$

Naqqas 4c miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4b=-4c-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$b=\frac{1}{4}\left(-4c-5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-4c-5.

$$b=-c-\frac{5}{4}$$

Issostitwixxi -c-\frac{5}{4} għal b fl-ekwazzjoni l-oħra, 4b+5c=-6.

$$4\left(-c-\frac{5}{4}\right)+5c=-6$$

Immultiplika 4 b'-c-\frac{5}{4}.

$$-4c-5+5c=-6$$

Żid -4c ma' 5c.

$$c-5=-6$$

Żid 5 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$c=-1$$

Issostitwixxi -1 għal c f'b=-c-\frac{5}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal b direttament.

$$b=-\left(-1\right)-\frac{5}{4}$$

Immultiplika -1 b'-1.

$$b=1-\frac{5}{4}$$

Żid -\frac{5}{4} ma' 1.

$$b=-\frac{1}{4}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-4\times 4}&-\frac{4}{4\times 5-4\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-4\times 4}&\frac{4}{4\times 5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\left(-5\right)-\left(-6\right)\\-\left(-5\right)-6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi b u c.

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

Naqqas 4b+5c=-6 minn 4b+4c=-5 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4b-4b+4c-5c=-5+6$$

Żid 4b ma' -4b. 4b u -4b jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4c-5c=-5+6$$

Żid 4c ma' -5c.

$$-c=-5+6$$

Żid -5 ma' 6.

$$-c=1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$c=-1$$

Issostitwixxi -1 għal c f'4b+5c=-6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal b direttament.

$$4b+5\left(-1\right)=-6$$

Immultiplika 5 b'-1.

$$4b-5=-6$$

Żid 5 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4b=-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$b=-\frac{1}{4}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$