Issolvi {l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal a_1, d

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a_{1} billi tiżola a_{1} fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4a_{1}+6d=3$$

Naqqas 6d miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4a_{1}=-6d+3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-6d+3.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

Issostitwixxi -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} għal a_{1} fl-ekwazzjoni l-oħra, 3a_{1}+21d=4.

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

Immultiplika 3 b'-\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}.

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

Żid -\frac{9d}{2} ma' 21d.

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

Naqqas \frac{9}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{33}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$d=\frac{7}{66}$$

Issostitwixxi \frac{7}{66} għal d f'a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a_{1} direttament.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'\frac{7}{66} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

Żid \frac{3}{4} ma' -\frac{7}{44} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a_{1} u d.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Biex tagħmel 4a_{1} u 3a_{1} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

Issimplifika.

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

Naqqas 12a_{1}+84d=16 minn 12a_{1}+18d=9 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

Żid 12a_{1} ma' -12a_{1}. 12a_{1} u -12a_{1} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$18d-84d=9-16$$

Żid 18d ma' -84d.

$$-66d=9-16$$

Żid 9 ma' -16.

$$-66d=-7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-66.

$$d=\frac{7}{66}$$

Issostitwixxi \frac{7}{66} għal d f'3a_{1}+21d=4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a_{1} direttament.

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

Immultiplika 21 b'\frac{7}{66}.

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

Naqqas \frac{49}{22} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$