Issolvi {l}{36x-5y=7}{6x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 36 x - 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{61}{138}\approx 0.442028986$$

$$y = \frac{41}{23} = 1\frac{18}{23} \approx 1.782608696$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$36x-5y=7$$

Żid 5y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$36x=5y+7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'36.

$$x=\frac{1}{36}\left(5y+7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{36} b'5y+7.

$$x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}$$

Issostitwixxi \frac{5y+7}{36} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x+3y=8.

$$6\left(\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}\right)+3y=8$$

Immultiplika 6 b'\frac{5y+7}{36}.

$$\frac{5}{6}y+\frac{7}{6}+3y=8$$

Żid \frac{5y}{6} ma' 3y.

$$\frac{23}{6}y+\frac{7}{6}=8$$

Naqqas \frac{7}{6} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{23}{6}y=\frac{41}{6}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{23}{6}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{41}{23}$$

Issostitwixxi \frac{41}{23} għal y f'x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5}{36}\times \frac{41}{23}+\frac{7}{36}$$

Immultiplika \frac{5}{36} b'\frac{41}{23} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{205}{828}+\frac{7}{36}$$

Żid \frac{7}{36} ma' \frac{205}{828} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{61}{138}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&\frac{36}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}&\frac{5}{138}\\-\frac{1}{23}&\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}\times 7+\frac{5}{138}\times 8\\-\frac{1}{23}\times 7+\frac{6}{23}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{61}{138}\\\frac{41}{23}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

Biex tagħmel 36x u 6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'36.

$$6\times 36x+6\left(-5\right)y=6\times 7,36\times 6x+36\times 3y=36\times 8$$

Issimplifika.

$$216x-30y=42,216x+108y=288$$

Naqqas 216x+108y=288 minn 216x-30y=42 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$216x-216x-30y-108y=42-288$$

Żid 216x ma' -216x. 216x u -216x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-30y-108y=42-288$$

Żid -30y ma' -108y.

$$-138y=42-288$$

Żid 42 ma' -288.

$$-138y=-246$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-138.

$$y=\frac{41}{23}$$

Issostitwixxi \frac{41}{23} għal y f'6x+3y=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$6x+3\times \frac{41}{23}=8$$

Immultiplika 3 b'\frac{41}{23}.

$$6x+\frac{123}{23}=8$$

Naqqas \frac{123}{23} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=\frac{61}{23}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{61}{138}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$