Issolvi {l}{323=36c+6d}{1694=121c+11d}

$$\left. \begin{array} { l } { 323 = 36 c + 6 d } \\ { 1694 = 121 c + 11 d } \end{array} \right.$$

Solvi għal c, d

$$c = \frac{601}{30} = 20\frac{1}{30} \approx 20.033333333$$

$$d = -\frac{1991}{30} = -66\frac{11}{30} \approx -66.366666667$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$36c+6d=323$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$121c+11d=1694$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$36c+6d=323,121c+11d=1694$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal c billi tiżola c fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$36c+6d=323$$

Naqqas 6d miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$36c=-6d+323$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'36.

$$c=\frac{1}{36}\left(-6d+323\right)$$

Immultiplika \frac{1}{36} b'-6d+323.

$$c=-\frac{1}{6}d+\frac{323}{36}$$

Issostitwixxi -\frac{d}{6}+\frac{323}{36} għal c fl-ekwazzjoni l-oħra, 121c+11d=1694.

$$121\left(-\frac{1}{6}d+\frac{323}{36}\right)+11d=1694$$

Immultiplika 121 b'-\frac{d}{6}+\frac{323}{36}.

$$-\frac{121}{6}d+\frac{39083}{36}+11d=1694$$

Żid -\frac{121d}{6} ma' 11d.

$$-\frac{55}{6}d+\frac{39083}{36}=1694$$

Naqqas \frac{39083}{36} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{55}{6}d=\frac{21901}{36}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{55}{6}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$d=-\frac{1991}{30}$$

Issostitwixxi -\frac{1991}{30} għal d f'c=-\frac{1}{6}d+\frac{323}{36}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal c direttament.

$$c=-\frac{1}{6}\left(-\frac{1991}{30}\right)+\frac{323}{36}$$

Immultiplika -\frac{1}{6} b'-\frac{1991}{30} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$c=\frac{1991}{180}+\frac{323}{36}$$

Żid \frac{323}{36} ma' \frac{1991}{180} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$c=\frac{601}{30}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$c=\frac{601}{30},d=-\frac{1991}{30}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$36c+6d=323$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$121c+11d=1694$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$36c+6d=323,121c+11d=1694$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}36&6\\121&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}323\\1694\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}36&6\\121&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}36&6\\121&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36&6\\121&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&6\\121&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}323\\1694\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&6\\121&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}323\\1694\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}c\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&6\\121&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}323\\1694\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}c\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{36\times 11-6\times 121}&-\frac{6}{36\times 11-6\times 121}\\-\frac{121}{36\times 11-6\times 121}&\frac{36}{36\times 11-6\times 121}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}323\\1694\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}c\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{30}&\frac{1}{55}\\\frac{11}{30}&-\frac{6}{55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}323\\1694\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}c\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{30}\times 323+\frac{1}{55}\times 1694\\\frac{11}{30}\times 323-\frac{6}{55}\times 1694\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}c\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{601}{30}\\-\frac{1991}{30}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi c u d.

$$c=\frac{601}{30},d=-\frac{1991}{30}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$36c+6d=323$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$121c+11d=1694$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$36c+6d=323,121c+11d=1694$$

Biex tagħmel 36c u 121c ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'121 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'36.

$$121\times 36c+121\times 6d=121\times 323,36\times 121c+36\times 11d=36\times 1694$$

Issimplifika.

$$4356c+726d=39083,4356c+396d=60984$$

Naqqas 4356c+396d=60984 minn 4356c+726d=39083 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4356c-4356c+726d-396d=39083-60984$$

Żid 4356c ma' -4356c. 4356c u -4356c jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$726d-396d=39083-60984$$

Żid 726d ma' -396d.

$$330d=39083-60984$$

Żid 39083 ma' -60984.

$$330d=-21901$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'330.

$$d=-\frac{1991}{30}$$

Issostitwixxi -\frac{1991}{30} għal d f'121c+11d=1694. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal c direttament.

$$121c+11\left(-\frac{1991}{30}\right)=1694$$

Immultiplika 11 b'-\frac{1991}{30}.

$$121c-\frac{21901}{30}=1694$$

Żid \frac{21901}{30} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$121c=\frac{72721}{30}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'121.

$$c=\frac{601}{30}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$c=\frac{601}{30},d=-\frac{1991}{30}$$