Issolvi {l}{3y-6=x}{x-9=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y - 6 = x } \\ { x - 9 = 2 y } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=39$$

$$y=15$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$3y-6-x=0$$

Żid 6 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$3y-x=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$x-9-2y=0$$

Żid 9 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$x-2y=9$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3y-x=6$$

Żid x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3y=x+6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=\frac{1}{3}\left(x+6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'x+6.

$$y=\frac{1}{3}x+2$$

Issostitwixxi \frac{x}{3}+2 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, -2y+x=9.

$$-2\left(\frac{1}{3}x+2\right)+x=9$$

Immultiplika -2 b'\frac{x}{3}+2.

$$-\frac{2}{3}x-4+x=9$$

Żid -\frac{2x}{3} ma' x.

$$\frac{1}{3}x-4=9$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{3}x=13$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'3.

$$x=39$$

Issostitwixxi 39 għal x f'y=\frac{1}{3}x+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\frac{1}{3}\times 39+2$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'39.

$$y=13+2$$

Żid 2 ma' 13.

$$y=15$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=15,x=39$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$3y-6-x=0$$

Żid 6 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$3y-x=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$x-9-2y=0$$

Żid 9 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$x-2y=9$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+9\\2\times 6+3\times 9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\39\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=15,x=39$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$3y-6-x=0$$

Żid 6 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$3y-x=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$x-9-2y=0$$

Żid 9 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$x-2y=9$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Biex tagħmel 3y u -2y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$-2\times 3y-2\left(-1\right)x=-2\times 6,3\left(-2\right)y+3x=3\times 9$$

Issimplifika.

$$-6y+2x=-12,-6y+3x=27$$

Naqqas -6y+3x=27 minn -6y+2x=-12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-6y+6y+2x-3x=-12-27$$

Żid -6y ma' 6y. -6y u 6y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2x-3x=-12-27$$

Żid 2x ma' -3x.

$$-x=-12-27$$

Żid -12 ma' -27.

$$-x=-39$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=39$$

Issostitwixxi 39 għal x f'-2y+x=9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-2y+39=9$$

Naqqas 39 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2y=-30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=15$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=15,x=39$$