Issolvi {l}{3y+x=31}{2y+3x=44}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=10$$

$$y=7$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3y+x=31$$

Naqqas x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3y=-x+31$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-x+31.

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-x+31}{3} għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, 2y+3x=44.

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

Immultiplika 2 b'\frac{-x+31}{3}.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

Żid -\frac{2x}{3} ma' 3x.

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

Naqqas \frac{62}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{7}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=10$$

Issostitwixxi 10 għal x f'y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'10.

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

Żid \frac{31}{3} ma' -\frac{10}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$y=7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=7,x=10$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=7,x=10$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Biex tagħmel 3y u 2y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

Issimplifika.

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

Naqqas 6y+9x=132 minn 6y+2x=62 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

Żid 6y ma' -6y. 6y u -6y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2x-9x=62-132$$

Żid 2x ma' -9x.

$$-7x=62-132$$

Żid 62 ma' -132.

$$-7x=-70$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$x=10$$

Issostitwixxi 10 għal x f'2y+3x=44. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$2y+3\times 10=44$$

Immultiplika 3 b'10.

$$2y+30=44$$

Naqqas 30 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=7,x=10$$