Issolvi {l}{3x-y=3}{7x+2y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y = 3 } \\ { 7 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-y=3,7x+2y=20$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-y=3$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=y+3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+3\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'y+3.

$$x=\frac{1}{3}y+1$$

Issostitwixxi \frac{y}{3}+1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 7x+2y=20.

$$7\left(\frac{1}{3}y+1\right)+2y=20$$

Immultiplika 7 b'\frac{y}{3}+1.

$$\frac{7}{3}y+7+2y=20$$

Żid \frac{7y}{3} ma' 2y.

$$\frac{13}{3}y+7=20$$

Naqqas 7 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{13}{3}y=13$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{13}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x=\frac{1}{3}y+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{3}\times 3+1$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'3.

$$x=1+1$$

Żid 1 ma' 1.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-y=3,7x+2y=20$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-7\right)}&-\frac{-1}{3\times 2-\left(-7\right)}\\-\frac{7}{3\times 2-\left(-7\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{7}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 3+\frac{1}{13}\times 20\\-\frac{7}{13}\times 3+\frac{3}{13}\times 20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-y=3,7x+2y=20$$

Biex tagħmel 3x u 7x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'7 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$7\times 3x+7\left(-1\right)y=7\times 3,3\times 7x+3\times 2y=3\times 20$$

Issimplifika.

$$21x-7y=21,21x+6y=60$$

Naqqas 21x+6y=60 minn 21x-7y=21 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$21x-21x-7y-6y=21-60$$

Żid 21x ma' -21x. 21x u -21x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-7y-6y=21-60$$

Żid -7y ma' -6y.

$$-13y=21-60$$

Żid 21 ma' -60.

$$-13y=-39$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-13.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'7x+2y=20. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$7x+2\times 3=20$$

Immultiplika 2 b'3.

$$7x+6=20$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=3$$