Issolvi {l}{3x-9=y}{9y+3=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 9 = y } \\ { 9 y + 3 = x } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$3x-9-y=0$$

Żid 9 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$3x-y=9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$9y+3-x=0$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$9y-x=-3$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-y=9$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=y+9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+9\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'y+9.

$$x=\frac{1}{3}y+3$$

Issostitwixxi \frac{y}{3}+3 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x+9y=-3.

$$-\left(\frac{1}{3}y+3\right)+9y=-3$$

Immultiplika -1 b'\frac{y}{3}+3.

$$-\frac{1}{3}y-3+9y=-3$$

Żid -\frac{y}{3} ma' 9y.

$$\frac{26}{3}y-3=-3$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{26}{3}y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{26}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'x=\frac{1}{3}y+3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$3x-9-y=0$$

Żid 9 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$3x-y=9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$9y+3-x=0$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$9y-x=-3$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), biex l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala l-problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{1}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}\times 9+\frac{1}{26}\left(-3\right)\\\frac{1}{26}\times 9+\frac{3}{26}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$3x-9-y=0$$

Żid 9 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$3x-y=9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$9y+3-x=0$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$9y-x=-3$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

Biex tagħmel 3x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$-3x-\left(-y\right)=-9,3\left(-1\right)x+3\times 9y=3\left(-3\right)$$

Issimplifika.

$$-3x+y=-9,-3x+27y=-9$$

Naqqas -3x+27y=-9 minn -3x+y=-9 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-3x+3x+y-27y=-9+9$$

Żid -3x ma' 3x. -3x u 3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$y-27y=-9+9$$

Żid y ma' -27y.

$$-26y=-9+9$$

Żid -9 ma' 9.

$$-26y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-26.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'-x+9y=-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=0$$