Issolvi {l}{3x-7y=2}{-5x+2y=-13}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = 2 } \\ { - 5 x + 2 y = - 13 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-7y=2,-5x+2y=-13$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-7y=2$$

Żid 7y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=7y+2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(7y+2\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'7y+2.

$$x=\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}$$

Issostitwixxi \frac{7y+2}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -5x+2y=-13.

$$-5\left(\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}\right)+2y=-13$$

Immultiplika -5 b'\frac{7y+2}{3}.

$$-\frac{35}{3}y-\frac{10}{3}+2y=-13$$

Żid -\frac{35y}{3} ma' 2y.

$$-\frac{29}{3}y-\frac{10}{3}=-13$$

Żid \frac{10}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{29}{3}y=-\frac{29}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{29}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{7+2}{3}$$

Żid \frac{2}{3} ma' \frac{7}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-7y=2,-5x+2y=-13$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}&-\frac{-7}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{29}&-\frac{7}{29}\\-\frac{5}{29}&-\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{29}\times 2-\frac{7}{29}\left(-13\right)\\-\frac{5}{29}\times 2-\frac{3}{29}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-7y=2,-5x+2y=-13$$

Biex tagħmel 3x u -5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$-5\times 3x-5\left(-7\right)y=-5\times 2,3\left(-5\right)x+3\times 2y=3\left(-13\right)$$

Issimplifika.

$$-15x+35y=-10,-15x+6y=-39$$

Naqqas -15x+6y=-39 minn -15x+35y=-10 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-15x+15x+35y-6y=-10+39$$

Żid -15x ma' 15x. -15x u 15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$35y-6y=-10+39$$

Żid 35y ma' -6y.

$$29y=-10+39$$

Żid -10 ma' 39.

$$29y=29$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'29.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'-5x+2y=-13. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-5x+2=-13$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=-15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=1$$