Issolvi {l}{3x-5y=-18}{3x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 18 } \\ { 3 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=9$$

$$y=9$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-5y=-18$$

Żid 5y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=5y-18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-18\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'5y-18.

$$x=\frac{5}{3}y-6$$

Issostitwixxi \frac{5y}{3}-6 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-2y=9.

$$3\left(\frac{5}{3}y-6\right)-2y=9$$

Immultiplika 3 b'\frac{5y}{3}-6.

$$5y-18-2y=9$$

Żid 5y ma' -2y.

$$3y-18=9$$

Żid 18 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3y=27$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=9$$

Issostitwixxi 9 għal y f'x=\frac{5}{3}y-6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5}{3}\times 9-6$$

Immultiplika \frac{5}{3} b'9.

$$x=15-6$$

Żid -6 ma' 15.

$$x=9$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=9,y=9$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}\left(-18\right)+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{1}{3}\left(-18\right)+\frac{1}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=9,y=9$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

Naqqas 3x-2y=9 minn 3x-5y=-18 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3x-3x-5y+2y=-18-9$$

Żid 3x ma' -3x. 3x u -3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-5y+2y=-18-9$$

Żid -5y ma' 2y.

$$-3y=-18-9$$

Żid -18 ma' -9.

$$-3y=-27$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=9$$

Issostitwixxi 9 għal y f'3x-2y=9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-2\times 9=9$$

Immultiplika -2 b'9.

$$3x-18=9$$

Żid 18 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=27$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=9$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=9,y=9$$