Issolvi {l}{3x-4y=12}{y=-3x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 12 } \\ { y = - 3 x - 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3x maż-żewġ naħat.

$$y+3x=-3$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-4y=12$$

Żid 4y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=4y+12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+12\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'12+4y.

$$x=\frac{4}{3}y+4$$

Issostitwixxi 4+\frac{4y}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+y=-3.

$$3\left(\frac{4}{3}y+4\right)+y=-3$$

Immultiplika 3 b'4+\frac{4y}{3}.

$$4y+12+y=-3$$

Żid 4y ma' y.

$$5y+12=-3$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5y=-15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'x=\frac{4}{3}y+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{4}{3}\left(-3\right)+4$$

Immultiplika \frac{4}{3} b'-3.

$$x=-4+4$$

Żid 4 ma' -4.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3x maż-żewġ naħat.

$$y+3x=-3$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{3-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-4\times 3\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 12+\frac{4}{15}\left(-3\right)\\-\frac{1}{5}\times 12+\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=0,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3x maż-żewġ naħat.

$$y+3x=-3$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

Naqqas 3x+y=-3 minn 3x-4y=12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3x-3x-4y-y=12+3$$

Żid 3x ma' -3x. 3x u -3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-4y-y=12+3$$

Żid -4y ma' -y.

$$-5y=12+3$$

Żid 12 ma' 3.

$$-5y=15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'3x+y=-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-3=-3$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=-3$$