Issolvi {l}{3x-4y=-6}{2x+4y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = - 6 } \\ { 2 x + 4 y = 16 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-4y=-6,2x+4y=16$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-4y=-6$$

Żid 4y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=4y-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'4y-6.

$$x=\frac{4}{3}y-2$$

Issostitwixxi \frac{4y}{3}-2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+4y=16.

$$2\left(\frac{4}{3}y-2\right)+4y=16$$

Immultiplika 2 b'\frac{4y}{3}-2.

$$\frac{8}{3}y-4+4y=16$$

Żid \frac{8y}{3} ma' 4y.

$$\frac{20}{3}y-4=16$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{20}{3}y=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{20}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x=\frac{4}{3}y-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{4}{3}\times 3-2$$

Immultiplika \frac{4}{3} b'3.

$$x=4-2$$

Żid -2 ma' 4.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-4y=-6,2x+4y=16$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{5}\times 16\\-\frac{1}{10}\left(-6\right)+\frac{3}{20}\times 16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-4y=-6,2x+4y=16$$

Biex tagħmel 3x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\left(-6\right),3\times 2x+3\times 4y=3\times 16$$

Issimplifika.

$$6x-8y=-12,6x+12y=48$$

Naqqas 6x+12y=48 minn 6x-8y=-12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x-8y-12y=-12-48$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-8y-12y=-12-48$$

Żid -8y ma' -12y.

$$-20y=-12-48$$

Żid -12 ma' -48.

$$-20y=-60$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-20.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'2x+4y=16. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+4\times 3=16$$

Immultiplika 4 b'3.

$$2x+12=16$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=3$$