Issolvi {l}{3x-2y=6}{x/3-y/6=1/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 6 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 6 } = \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 3,6,2.

$$2x-y=3$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-2y=6$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=2y+6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'6+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

Issostitwixxi \frac{2y}{3}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-y=3.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)-y=3$$

Immultiplika 2 b'\frac{2y}{3}+2.

$$\frac{4}{3}y+4-y=3$$

Żid \frac{4y}{3} ma' -y.

$$\frac{1}{3}y+4=3$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{3}y=-1$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'3.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'x=\frac{2}{3}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{2}{3}\left(-3\right)+2$$

Immultiplika \frac{2}{3} b'-3.

$$x=-2+2$$

Żid 2 ma' -2.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 3,6,2.

$$2x-y=3$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6+2\times 3\\-2\times 6+3\times 3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=0,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 3,6,2.

$$2x-y=3$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

Biex tagħmel 3x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 6,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 3$$

Issimplifika.

$$6x-4y=12,6x-3y=9$$

Naqqas 6x-3y=9 minn 6x-4y=12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x-4y+3y=12-9$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-4y+3y=12-9$$

Żid -4y ma' 3y.

$$-y=12-9$$

Żid 12 ma' -9.

$$-y=3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'2x-y=3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-\left(-3\right)=3$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=-3$$