Issolvi {l}{3x-2y=5}{2x-3y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { 2 x - 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-3$$

$$y=-7$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-2y=5,2x-3y=15$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-2y=5$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=2y+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'2y+5.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Issostitwixxi \frac{2y+5}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-3y=15.

$$2\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)-3y=15$$

Immultiplika 2 b'\frac{2y+5}{3}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-3y=15$$

Żid \frac{4y}{3} ma' -3y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}=15$$

Naqqas \frac{10}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{5}{3}y=\frac{35}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{5}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-7$$

Issostitwixxi -7 għal y f'x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{2}{3}\left(-7\right)+\frac{5}{3}$$

Immultiplika \frac{2}{3} b'-7.

$$x=\frac{-14+5}{3}$$

Żid \frac{5}{3} ma' -\frac{14}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-3,y=-7$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-2y=5,2x-3y=15$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 15\\\frac{2}{5}\times 5-\frac{3}{5}\times 15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-7\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-3,y=-7$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-2y=5,2x-3y=15$$

Biex tagħmel 3x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 15$$

Issimplifika.

$$6x-4y=10,6x-9y=45$$

Naqqas 6x-9y=45 minn 6x-4y=10 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x-4y+9y=10-45$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-4y+9y=10-45$$

Żid -4y ma' 9y.

$$5y=10-45$$

Żid 10 ma' -45.

$$5y=-35$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=-7$$

Issostitwixxi -7 għal y f'2x-3y=15. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-3\left(-7\right)=15$$

Immultiplika -3 b'-7.

$$2x+21=15$$

Naqqas 21 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-3,y=-7$$