Issolvi {l}{3x-2y=5}{-5-x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 5 - x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y = \frac{47}{4} = 11\frac{3}{4} = 11.75$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-2y=5$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=2y+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'2y+5.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Issostitwixxi \frac{2y+5}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x+2y-5=9.

$$-\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y-5=9$$

Immultiplika -1 b'\frac{2y+5}{3}.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}+2y-5=9$$

Żid -\frac{2y}{3} ma' 2y.

$$\frac{4}{3}y-\frac{5}{3}-5=9$$

Żid -\frac{5}{3} ma' -5.

$$\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}=9$$

Żid \frac{20}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{4}{3}y=\frac{47}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{4}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{47}{4}$$

Issostitwixxi \frac{47}{4} għal y f'x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{47}{4}+\frac{5}{3}$$

Immultiplika \frac{2}{3} b'\frac{47}{4} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{47}{6}+\frac{5}{3}$$

Żid \frac{5}{3} ma' \frac{47}{6} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{19}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{47}{4}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Biex tagħmel 3x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$-3x-\left(-2y\right)=-5,3\left(-1\right)x+3\times 2y+3\left(-5\right)=3\times 9$$

Issimplifika.

$$-3x+2y=-5,-3x+6y-15=27$$

Naqqas -3x+6y-15=27 minn -3x+2y=-5 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-3x+3x+2y-6y+15=-5-27$$

Żid -3x ma' 3x. -3x u 3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y-6y+15=-5-27$$

Żid 2y ma' -6y.

$$-4y+15=-5-27$$

Żid -5 ma' -27.

$$-4y+15=-32$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4y=-47$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$y=\frac{47}{4}$$

Issostitwixxi \frac{47}{4} għal y f'-x+2y-5=9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x+2\times \frac{47}{4}-5=9$$

Immultiplika 2 b'\frac{47}{4}.

$$-x+\frac{47}{2}-5=9$$

Żid \frac{47}{2} ma' -5.

$$-x+\frac{37}{2}=9$$

Naqqas \frac{37}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-\frac{19}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=\frac{19}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$