Issolvi {l}{3x-2y+3=0}{4x+3y-47=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 3 y - 47 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y=9$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-2y+3=0$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x-2y=-3$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=2y-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'2y-3.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

Issostitwixxi \frac{2y}{3}-1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+3y-47=0.

$$4\left(\frac{2}{3}y-1\right)+3y-47=0$$

Immultiplika 4 b'\frac{2y}{3}-1.

$$\frac{8}{3}y-4+3y-47=0$$

Żid \frac{8y}{3} ma' 3y.

$$\frac{17}{3}y-4-47=0$$

Żid -4 ma' -47.

$$\frac{17}{3}y-51=0$$

Żid 51 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{17}{3}y=51$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{17}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=9$$

Issostitwixxi 9 għal y f'x=\frac{2}{3}y-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{2}{3}\times 9-1$$

Immultiplika \frac{2}{3} b'9.

$$x=6-1$$

Żid -1 ma' 6.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=9$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{2}{17}\times 47\\-\frac{4}{17}\left(-3\right)+\frac{3}{17}\times 47\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=9$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Biex tagħmel 3x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y+4\times 3=0,3\times 4x+3\times 3y+3\left(-47\right)=0$$

Issimplifika.

$$12x-8y+12=0,12x+9y-141=0$$

Naqqas 12x+9y-141=0 minn 12x-8y+12=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12x-12x-8y-9y+12+141=0$$

Żid 12x ma' -12x. 12x u -12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-8y-9y+12+141=0$$

Żid -8y ma' -9y.

$$-17y+12+141=0$$

Żid 12 ma' 141.

$$-17y+153=0$$

Naqqas 153 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-17y=-153$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-17.

$$y=9$$

Issostitwixxi 9 għal y f'4x+3y-47=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x+3\times 9-47=0$$

Immultiplika 3 b'9.

$$4x+27-47=0$$

Żid 27 ma' -47.

$$4x-20=0$$

Żid 20 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=9$$