Issolvi {l}{3x+7y=63}{2x+4y=38}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 63 } \\ { 2 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=7$$

$$y=6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+7y=63$$

Naqqas 7y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-7y+63$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+63\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-7y+63.

$$x=-\frac{7}{3}y+21$$

Issostitwixxi -\frac{7y}{3}+21 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+4y=38.

$$2\left(-\frac{7}{3}y+21\right)+4y=38$$

Immultiplika 2 b'-\frac{7y}{3}+21.

$$-\frac{14}{3}y+42+4y=38$$

Żid -\frac{14y}{3} ma' 4y.

$$-\frac{2}{3}y+42=38$$

Naqqas 42 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{2}{3}y=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{2}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=6$$

Issostitwixxi 6 għal y f'x=-\frac{7}{3}y+21. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{7}{3}\times 6+21$$

Immultiplika -\frac{7}{3} b'6.

$$x=-14+21$$

Żid 21 ma' -14.

$$x=7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=7,y=6$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-7\times 2}&-\frac{7}{3\times 4-7\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-7\times 2}&\frac{3}{3\times 4-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{7}{2}\\1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 63+\frac{7}{2}\times 38\\63-\frac{3}{2}\times 38\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=7,y=6$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

Biex tagħmel 3x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3x+2\times 7y=2\times 63,3\times 2x+3\times 4y=3\times 38$$

Issimplifika.

$$6x+14y=126,6x+12y=114$$

Naqqas 6x+12y=114 minn 6x+14y=126 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+14y-12y=126-114$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$14y-12y=126-114$$

Żid 14y ma' -12y.

$$2y=126-114$$

Żid 126 ma' -114.

$$2y=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=6$$

Issostitwixxi 6 għal y f'2x+4y=38. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+4\times 6=38$$

Immultiplika 4 b'6.

$$2x+24=38$$

Naqqas 24 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=7,y=6$$