Issolvi {l}{3x+6y=4}{5x+2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 4 } \\ { 5 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+6y=4,5x+2y=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+6y=4$$

Naqqas 6y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-6y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-6y+4.

$$x=-2y+\frac{4}{3}$$

Issostitwixxi -2y+\frac{4}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+2y=8.

$$5\left(-2y+\frac{4}{3}\right)+2y=8$$

Immultiplika 5 b'-2y+\frac{4}{3}.

$$-10y+\frac{20}{3}+2y=8$$

Żid -10y ma' 2y.

$$-8y+\frac{20}{3}=8$$

Naqqas \frac{20}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-8y=\frac{4}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$y=-\frac{1}{6}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{6} għal y f'x=-2y+\frac{4}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\left(-\frac{1}{6}\right)+\frac{4}{3}$$

Immultiplika -2 b'-\frac{1}{6}.

$$x=\frac{1+4}{3}$$

Żid \frac{4}{3} ma' \frac{1}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{5}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{6}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+6y=4,5x+2y=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&6\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-6\times 5}&-\frac{6}{3\times 2-6\times 5}\\-\frac{5}{3\times 2-6\times 5}&\frac{3}{3\times 2-6\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\\\frac{5}{24}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 4+\frac{1}{4}\times 8\\\frac{5}{24}\times 4-\frac{1}{8}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{6}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+6y=4,5x+2y=8$$

Biex tagħmel 3x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$5\times 3x+5\times 6y=5\times 4,3\times 5x+3\times 2y=3\times 8$$

Issimplifika.

$$15x+30y=20,15x+6y=24$$

Naqqas 15x+6y=24 minn 15x+30y=20 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$15x-15x+30y-6y=20-24$$

Żid 15x ma' -15x. 15x u -15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$30y-6y=20-24$$

Żid 30y ma' -6y.

$$24y=20-24$$

Żid 20 ma' -24.

$$24y=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'24.

$$y=-\frac{1}{6}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{6} għal y f'5x+2y=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+2\left(-\frac{1}{6}\right)=8$$

Immultiplika 2 b'-\frac{1}{6}.

$$5x-\frac{1}{3}=8$$

Żid \frac{1}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=\frac{25}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{5}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{6}$$