Issolvi {l}{3x+5y=10}{2x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 10 } \\ { 2 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{35}{13} = 2\frac{9}{13} \approx 2.692307692$$

$$y=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+5y=10$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-5y+10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-5y+10.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-5y+10}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-y=5.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}\right)-y=5$$

Immultiplika 2 b'\frac{-5y+10}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{20}{3}-y=5$$

Żid -\frac{10y}{3} ma' -y.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{20}{3}=5$$

Naqqas \frac{20}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{5}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{13}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{5}{13}$$

Issostitwixxi \frac{5}{13} għal y f'x=-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{13}+\frac{10}{3}$$

Immultiplika -\frac{5}{3} b'\frac{5}{13} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{10}{3}$$

Żid \frac{10}{3} ma' -\frac{25}{39} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{35}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 10+\frac{5}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 10-\frac{3}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

Biex tagħmel 3x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 10,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 5$$

Issimplifika.

$$6x+10y=20,6x-3y=15$$

Naqqas 6x-3y=15 minn 6x+10y=20 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+10y+3y=20-15$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$10y+3y=20-15$$

Żid 10y ma' 3y.

$$13y=20-15$$

Żid 20 ma' -15.

$$13y=5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'13.

$$y=\frac{5}{13}$$

Issostitwixxi \frac{5}{13} għal y f'2x-y=5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-\frac{5}{13}=5$$

Żid \frac{5}{13} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=\frac{70}{13}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{35}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$