Issolvi {l}{3x+4y=85}{x+y=25}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 85 } \\ { x + y = 25 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=15$$

$$y=10$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+4y=85$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-4y+85$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+85\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-4y+85.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-4y+85}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+y=25.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}+y=25$$

Żid -\frac{4y}{3} ma' y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{85}{3}=25$$

Naqqas \frac{85}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=10$$

Issostitwixxi 10 għal y f'x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{4}{3}\times 10+\frac{85}{3}$$

Immultiplika -\frac{4}{3} b'10.

$$x=\frac{-40+85}{3}$$

Żid \frac{85}{3} ma' -\frac{40}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=15$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=15,y=10$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), biex l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala l-problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{3}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85+4\times 25\\85-3\times 25\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=15,y=10$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

Biex tagħmel 3x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$3x+4y=85,3x+3y=3\times 25$$

Issimplifika.

$$3x+4y=85,3x+3y=75$$

Naqqas 3x+3y=75 minn 3x+4y=85 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3x-3x+4y-3y=85-75$$

Żid 3x ma' -3x. 3x u -3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4y-3y=85-75$$

Żid 4y ma' -3y.

$$y=85-75$$

Żid 85 ma' -75.

$$y=10$$

Issostitwixxi 10 għal y f'x+y=25. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+10=25$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=15$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=15,y=10$$