Issolvi {l}{3x+4y=28}{9x-6y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 28 } \\ { 9 x - 6 y = 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{100}{27} = 3\frac{19}{27} \approx 3.703703704$$

$$y = \frac{38}{9} = 4\frac{2}{9} \approx 4.222222222$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+4y=28$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-4y+28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+28\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-4y+28.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-4y+28}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 9x-6y=8.

$$9\left(-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}\right)-6y=8$$

Immultiplika 9 b'\frac{-4y+28}{3}.

$$-12y+84-6y=8$$

Żid -12y ma' -6y.

$$-18y+84=8$$

Naqqas 84 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-18y=-76$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-18.

$$y=\frac{38}{9}$$

Issostitwixxi \frac{38}{9} għal y f'x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{38}{9}+\frac{28}{3}$$

Immultiplika -\frac{4}{3} b'\frac{38}{9} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{152}{27}+\frac{28}{3}$$

Żid \frac{28}{3} ma' -\frac{152}{27} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{100}{27}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 9}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-6\right)-4\times 9}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{27}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 28+\frac{2}{27}\times 8\\\frac{1}{6}\times 28-\frac{1}{18}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{27}\\\frac{38}{9}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Biex tagħmel 3x u 9x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'9 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$9\times 3x+9\times 4y=9\times 28,3\times 9x+3\left(-6\right)y=3\times 8$$

Issimplifika.

$$27x+36y=252,27x-18y=24$$

Naqqas 27x-18y=24 minn 27x+36y=252 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$27x-27x+36y+18y=252-24$$

Żid 27x ma' -27x. 27x u -27x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$36y+18y=252-24$$

Żid 36y ma' 18y.

$$54y=252-24$$

Żid 252 ma' -24.

$$54y=228$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'54.

$$y=\frac{38}{9}$$

Issostitwixxi \frac{38}{9} għal y f'9x-6y=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$9x-6\times \frac{38}{9}=8$$

Immultiplika -6 b'\frac{38}{9}.

$$9x-\frac{76}{3}=8$$

Żid \frac{76}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9x=\frac{100}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$x=\frac{100}{27}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$