Issolvi {l}{3x+4y=27}{4x+6y=76}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 27 } \\ { 4 x + 6 y = 76 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-71$$

$$y=60$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+4y=27,4x+6y=76$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+4y=27$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-4y+27$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+27\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-4y+27.

$$x=-\frac{4}{3}y+9$$

Issostitwixxi -\frac{4y}{3}+9 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+6y=76.

$$4\left(-\frac{4}{3}y+9\right)+6y=76$$

Immultiplika 4 b'-\frac{4y}{3}+9.

$$-\frac{16}{3}y+36+6y=76$$

Żid -\frac{16y}{3} ma' 6y.

$$\frac{2}{3}y+36=76$$

Naqqas 36 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{2}{3}y=40$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{2}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=60$$

Issostitwixxi 60 għal y f'x=-\frac{4}{3}y+9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{4}{3}\times 60+9$$

Immultiplika -\frac{4}{3} b'60.

$$x=-80+9$$

Żid 9 ma' -80.

$$x=-71$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-71,y=60$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+4y=27,4x+6y=76$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\76\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\76\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\76\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\76\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-4\times 4}&-\frac{4}{3\times 6-4\times 4}\\-\frac{4}{3\times 6-4\times 4}&\frac{3}{3\times 6-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\76\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\76\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 27-2\times 76\\-2\times 27+\frac{3}{2}\times 76\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-71\\60\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-71,y=60$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+4y=27,4x+6y=76$$

Biex tagħmel 3x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$4\times 3x+4\times 4y=4\times 27,3\times 4x+3\times 6y=3\times 76$$

Issimplifika.

$$12x+16y=108,12x+18y=228$$

Naqqas 12x+18y=228 minn 12x+16y=108 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12x-12x+16y-18y=108-228$$

Żid 12x ma' -12x. 12x u -12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$16y-18y=108-228$$

Żid 16y ma' -18y.

$$-2y=108-228$$

Żid 108 ma' -228.

$$-2y=-120$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=60$$

Issostitwixxi 60 għal y f'4x+6y=76. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x+6\times 60=76$$

Immultiplika 6 b'60.

$$4x+360=76$$

Naqqas 360 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-284$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=-71$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-71,y=60$$