Issolvi {l}{3x+4y=253}{y=5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 253 } \\ { y = 5 x } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=11$$

$$y=55$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 5x miż-żewġ naħat.

$$y-5x=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+4y=253$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-4y+253$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+253\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-4y+253.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-4y+253}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -5x+y=0.

$$-5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}\right)+y=0$$

Immultiplika -5 b'\frac{-4y+253}{3}.

$$\frac{20}{3}y-\frac{1265}{3}+y=0$$

Żid \frac{20y}{3} ma' y.

$$\frac{23}{3}y-\frac{1265}{3}=0$$

Żid \frac{1265}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{23}{3}y=\frac{1265}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{23}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=55$$

Issostitwixxi 55 għal y f'x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{4}{3}\times 55+\frac{253}{3}$$

Immultiplika -\frac{4}{3} b'55.

$$x=\frac{-220+253}{3}$$

Żid \frac{253}{3} ma' -\frac{220}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=11$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=11,y=55$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 5x miż-żewġ naħat.

$$y-5x=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3-4\left(-5\right)}&\frac{3}{3-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&-\frac{4}{23}\\\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 253\\\frac{5}{23}\times 253\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\55\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=11,y=55$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 5x miż-żewġ naħat.

$$y-5x=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Biex tagħmel 3x u -5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$-5\times 3x-5\times 4y=-5\times 253,3\left(-5\right)x+3y=0$$

Issimplifika.

$$-15x-20y=-1265,-15x+3y=0$$

Naqqas -15x+3y=0 minn -15x-20y=-1265 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-15x+15x-20y-3y=-1265$$

Żid -15x ma' 15x. -15x u 15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-20y-3y=-1265$$

Żid -20y ma' -3y.

$$-23y=-1265$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-23.

$$y=55$$

Issostitwixxi 55 għal y f'-5x+y=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-5x+55=0$$

Naqqas 55 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=-55$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=11$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=11,y=55$$