Issolvi {l}{3x+4y=16}{5x-3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 16 } \\ { 5 x - 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{80}{29} = 2\frac{22}{29} \approx 2.75862069$$

$$y = \frac{56}{29} = 1\frac{27}{29} \approx 1.931034483$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+4y=16,5x-3y=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+4y=16$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-4y+16$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+16\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-4y+16.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-4y+16}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x-3y=8.

$$5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}\right)-3y=8$$

Immultiplika 5 b'\frac{-4y+16}{3}.

$$-\frac{20}{3}y+\frac{80}{3}-3y=8$$

Żid -\frac{20y}{3} ma' -3y.

$$-\frac{29}{3}y+\frac{80}{3}=8$$

Naqqas \frac{80}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{29}{3}y=-\frac{56}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{29}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{56}{29}$$

Issostitwixxi \frac{56}{29} għal y f'x=-\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{56}{29}+\frac{16}{3}$$

Immultiplika -\frac{4}{3} b'\frac{56}{29} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{224}{87}+\frac{16}{3}$$

Żid \frac{16}{3} ma' -\frac{224}{87} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{80}{29}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{80}{29},y=\frac{56}{29}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+4y=16,5x-3y=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&4\\5&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 5}&-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-3\right)-4\times 5}&\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{4}{29}\\\frac{5}{29}&-\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\times 16+\frac{4}{29}\times 8\\\frac{5}{29}\times 16-\frac{3}{29}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{29}\\\frac{56}{29}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{80}{29},y=\frac{56}{29}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+4y=16,5x-3y=8$$

Biex tagħmel 3x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$5\times 3x+5\times 4y=5\times 16,3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 8$$

Issimplifika.

$$15x+20y=80,15x-9y=24$$

Naqqas 15x-9y=24 minn 15x+20y=80 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$15x-15x+20y+9y=80-24$$

Żid 15x ma' -15x. 15x u -15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$20y+9y=80-24$$

Żid 20y ma' 9y.

$$29y=80-24$$

Żid 80 ma' -24.

$$29y=56$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'29.

$$y=\frac{56}{29}$$

Issostitwixxi \frac{56}{29} għal y f'5x-3y=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x-3\times \frac{56}{29}=8$$

Immultiplika -3 b'\frac{56}{29}.

$$5x-\frac{168}{29}=8$$

Żid \frac{168}{29} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=\frac{400}{29}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{80}{29}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{80}{29},y=\frac{56}{29}$$