Issolvi {l}{3x+4=y}{9x-5=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 = y } \\ { 9 x - 5 = y } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = \frac{17}{2} = 8\frac{1}{2} = 8.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$3x+4-y=0$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$3x-y=-4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$9x-5-y=0$$

Żid 5 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$9x-y=5$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-y=-4,9x-y=5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-y=-4$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=y-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'y-4.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-4+y}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 9x-y=5.

$$9\left(\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}\right)-y=5$$

Immultiplika 9 b'\frac{-4+y}{3}.

$$3y-12-y=5$$

Żid 3y ma' -y.

$$2y-12=5$$

Żid 12 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=17$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=\frac{17}{2}$$

Issostitwixxi \frac{17}{2} għal y f'x=\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{17}{2}-\frac{4}{3}$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'\frac{17}{2} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{17}{6}-\frac{4}{3}$$

Żid -\frac{4}{3} ma' \frac{17}{6} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{3}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{17}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$3x+4-y=0$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$3x-y=-4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$9x-5-y=0$$

Żid 5 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$9x-y=5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-y=-4,9x-y=5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{1}{6}\times 5\\-\frac{3}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{17}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$3x+4-y=0$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$3x-y=-4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$9x-5-y=0$$

Żid 5 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$9x-y=5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-y=-4,9x-y=5$$

Naqqas 9x-y=5 minn 3x-y=-4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3x-9x-y+y=-4-5$$

Żid -y ma' y. -y u y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3x-9x=-4-5$$

Żid 3x ma' -9x.

$$-6x=-4-5$$

Żid -4 ma' -5.

$$-6x=-9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi \frac{3}{2} għal x f'9x-y=5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$9\times \frac{3}{2}-y=5$$

Immultiplika 9 b'\frac{3}{2}.

$$\frac{27}{2}-y=5$$

Naqqas \frac{27}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=-\frac{17}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=\frac{17}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{17}{2}$$