Issolvi {l}{3x+3y=12}{3x+2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 3 y = 12 } \\ { 3 x + 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+3y=12,3x+2y=13$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+3y=12$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-3y+12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-3y+12\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-3y+12.

$$x=-y+4$$

Issostitwixxi -y+4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+2y=13.

$$3\left(-y+4\right)+2y=13$$

Immultiplika 3 b'-y+4.

$$-3y+12+2y=13$$

Żid -3y ma' 2y.

$$-y+12=13$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=-y+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\left(-1\right)+4$$

Immultiplika -1 b'-1.

$$x=1+4$$

Żid 4 ma' 1.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+3y=12,3x+2y=13$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{3\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{3\times 2-3\times 3}&\frac{3}{3\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 12+13\\12-13\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+3y=12,3x+2y=13$$

Naqqas 3x+2y=13 minn 3x+3y=12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3x-3x+3y-2y=12-13$$

Żid 3x ma' -3x. 3x u -3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3y-2y=12-13$$

Żid 3y ma' -2y.

$$y=12-13$$

Żid 12 ma' -13.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'3x+2y=13. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+2\left(-1\right)=13$$

Immultiplika 2 b'-1.

$$3x-2=13$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=-1$$